UTILIZAÇÃO DA INTEGRAL ELÍPTICA PARA A SOLUÇÃO DOS PROBLEMAS DIRETO E INVERSO DA GEODÉSIA

Resumo

Nesta dissertação é apresentado o método que utiliza integrais elípticas
para a solução dos problemas principais geodésicos direto e inverso. Neste método
as latitudes de pontos sobre a linha geodésica são transformadas nas quantidades ν
ou então w, as quais são funções da latitude e do azimute. Para a solução do
problema direto é feita uma comparação dos resultados de integração com valores
teóricos, o que permite o melhoramento iterativo velozmente convergente do limite
superior ν2 de integração, com o qual calculam-se as demais quantidades
procuradas. Já a solução do problema inverso é obtida pela determinação iterativa
da latitude máxima que fixa a linha geodésica. Com o objetivo de pormenorizar
didaticamente os procedimentos do método, procurou-se omitir o mínimo possível
as demonstrações, a fim de oferecer condições para demonstrar as integrais elípticas
aplicadas a estes problemas. Como tais integrais não possuem solução analítica, ou
seja, não podem ser expressas por funções elementares, é apresentada uma síntese
dos métodos para a sua integração numérica. Os problemas direto e inverso são
calculados para linhas de 1 m, 200 m, 500 m, 1 km, 10 km, 40 km, 80 km, 500 km e
1000 km e também as soluções obtidas pelos diferentes métodos de integração
numérica utilizados são comparadas. A consistência do método é constatada pela
discrepância apresentada entre as soluções direta e inversa bem como pelo cálculo
recíproco do problema direto. Conclui-se o trabalho com recomendações a respeito
do método mais adequado para cada comprimento de linha utilizado, no que diz
respeito à simplicidade do uso e acurácia dos resultados.

The use of elliptical integrals so as to solve direct and indirect geodesic problems

Abstract

This dissertation aims to present the method that uses elliptical integrals to
solve the main direct and indirect geodesic problems. In this method the points latitudes on the geodesic lines are transformed into the ν or w quantities, which are
functions of the latitude and azimuth. In order to solve the direct problem a
comparison between the integration results and the theoretical values is made,
which allows the fast convergent iterative improvement of the integration superior
limit ν2, with which other searched quantities are calculated. The indirect problem
solution is gotten by iterative determination of the maximum latitude that fixes the
geodesic line. Aiming to detail the method procedures, trying to omit the
demonstrations as less as possible in order to offer conditions to demonstrate the
elliptical integrals applied to these problems. As such integrals dont have an
analytical solution, i. e., they cant be expressed by elementary functions, a
synthesis of the methods is presented for its numerical integration. The direct and
indirect problems are calculated for 1 m, 200 m, 500 m, 1 km, 10 km, 40 km, 80
km, 500 km e 1000 km lines and but also the solutions gotten by different methods
of numerical integration used are compared. The method consistence is checked by
the discrepancy presented between the direct and indirect solutions as well as by the
reciprocal calculation of the direct problem. The work is concluded along with
recommendations on the most adequate method for each line length used, regarding
the utilization simplicity and results accuracy.